上周六的网课中，给孩子布置的复习作业，100以内加法和减法中关于进位和退位的练习题。当有孩子在“圈一圈”中遇到困难时，家长询问我：“朱老师，圈这个到底是为啥呀？”
布鲁纳认为，儿童智力发展的形式，实际上就是3种不同发展水平的认知结构，即动作的、表象的和符号的认知结构。也就是说，孩子们对于运算学习所要经历的基本思维过程是：实物操作-表象操作-符号操作。
《玩游戏，学数学》的课程中，也强调：儿童的学习过程，是从手到脑，而不是从脑到脑；是从操作到思考，而不是直接从思考到思考。
从教材的编写来看：从“5以内的分与合”到“20以内的进位加法“再到”20以内的退位减法“，教材都采用到实物图片的方式来帮助儿童理解运算的道理。是不是这样就可以帮助孩子建构加减法的观念了呢？
为什么有的孩子依然会在遇到“1+2=？”仍去掰手指，而在老师问他“我有一个苹果，你有两个苹果，我们一共有几个苹果”时，他却能脱口说出“3”呢？
教材作为一个纸质材料，直接进入了“表象操作”阶段，甚至有的孩子，更早地进入了“1+2=？”的“符号阶段”（在更小的时候，将口算题直接抛给孩子，让他们学习“运算”），如果孩子没有经历“实物的”“动作操作”阶段，那么“1+2”对于他来说，只是一个符号、一个词语出现在他的大脑里，并没有形成真正的数观念。
在教材之外，孩子真正需要理解“>”“+”“-”“=”这些符号，表示的是什么意思？我们在一年级上册的时候，让孩子操作棋子去理解“分与合”，进一步理解“+”就是“合”，“-”就是“分”，“=”表示一个结果（最初是这样，后来还需要明白，它还表示“两边相等”）。当动作、实物、符号三者结合起时，才能说孩子“可能形成了正确的数观念”。
在操作经验之后，孩子们再来完成“烟花图”，这时加减运算对于他们来说，就不再是一个冰冷的符号，而一个个有趣的故事了。
到了“进位加”和“退位减”的学习时，也是孩子们“单一性概念结构”到“多单位概念结构”的过渡。这时小棒、计数器等学具的使用，都是在帮助孩子建立“单位”“位值”等概念。“凑十”“破十”作为计算方法，也需要孩子在操作过程去理解：加法，小棒“满十”要打捆，计数器“满十”要向前一位“进一”；减法，不够减时，小棒要将一捆打开，“一个十”变成“十个一”，计数器，要从十位上“借一个十”，换成个位上“十个一”。
在这样操作过程中，孩子们会自动生成：一个一个加太麻烦了，我们可以先拿几个凑成十，剩下几个，合起来就是十几；一个一个减太麻烦了，我们可以先将零散的几个先拿走，再从十里面拿走几个。这样的操作，费了大概一节课的时间，并且是兵荒马乱的一节课。但是到第二节课的时候，孩子们就可以抛开小棒，用语言来描述操作过程，即解释运算过程。当然，孩子要熟练掌握，还需要有课下的练习。
如果这个过程走得扎实的话，那么孩子对于随后的图像操作、符号操作就没有问题了。
为什么小学低段要费这么大的劲来做这些事情呢？曾经的一年级数学不是最好教的吗？孩子们在学前都已经接触到“20以内的加减法”，甚至100以内的加减法，还需要这样操作吗？
随着课程研究的深入，我越来越认为，这是很有必要的。当下（一年级）孩子积累的动作经验，不仅仅使他们拥有正确的数观念，而且还为小学中高段学习，提供解决问题的经验。
几道题目，我给出的建议都是“先根据数量关系，画出线段图”。而轩在我的指导下画出图后，基本上自己都能够讲出解题思路了。
为什么自己做题时就没有思路呢？究其原因，就是“操作”并没有作为他的解题经验优先出现的大脑里，只是天马行空地想，想不出来就乱写，也不辨别对错。
新版《数学课程标准（2022版）》已发布，其中一个变化，就是“进一步增加几何直观”。“几何直观”是小学阶段数学的核心素养之一，《数学课程标准（2022版）》中关于“几何直观”的描述如下图：
一下第一单元《认识图形（二）》中有这样的一道题目。有的孩子看着这样的题目，无从下手，或者瞎蒙一个数字写进去。
拥有操作经验的孩子，就会着手画一画，折一折，从而找到正确答案。这也是我们当下所做事情的意义。
