探寻“不同”背后的“相同”
——“会说话的数字”教学实践与思考
“会说话的数字”一课选自人教版三年级下册第八单元《搭配（二）》，是我参加一次观摩课活动时所执教的课例。本单元一共有三个例题，例1是教学稍复杂的排列问题；例2是通过搭配服装的问题，教学分步乘法计算原理；例3是：数学组合问题。其中例1，重点围绕数字的排列展开，尤其是含有0的数字排列数的问题。
选定课题之后，便是如何“谋篇布局”。上过公开课的老师可能都会有相似的体会：乍一看，很多课题都可以选用，但结合自身的实际情况过滤一遍之后，可能会发现适合自己的课例并不多，如果要想把一节课上的既有趣味性，又有深度，还要有一定的教育价值或者是耐人寻味的内涵，就更不容易了吧。说实话，选定课题之初，我的内心是有一些纠结的。原因是这节课以含有0的四个数字的排列数的问题展开，学生学起来会不会觉得枯燥呢？人教版义务教育教科书《教师教学用书》教学建议中说到：要把握教学要求，“到位”而不“越位”。那么，“到位”和“越位”的界限该如何把握呢？既然已经选定了课题，我就告诉自己：决不能退缩，就当是挑战自我。我下决心深度挖掘一下素材，看看能不能上出一点不一样的“味道”来。
一、探寻童趣，善解童真。
学生在二年级上册“数学广角”的学习中已经接触到了简单的排列和组合内容。本单元也是在学生已有相关知识经验的基础上，进一步系统、深入学习排列组合的数学思想及更为复杂的排列组合问题。
立足学情，我精心创设了有关张小明的故事的问题情境串，让教材中的小明同学不再是二维的，甚至是一维的小明，而是三维立体的、有血有肉、有思想有故事的真实存在。采用形式多样的学习活动，并借助不同的问题情境逐步探寻不同表面背后的相同数学本质。我还设计了一些具有坡度的问题，在充分体现思维的逐步进阶的同时，也给学生提供了一些学习的支架，力争打破学生具体形象思维与抽象思维间的壁垒。建构起一节具有整体性特点的课堂，帮助学生构筑起对数字搭配完整而清晰的认识。
鉴于三年级学生年龄较小、稚气十足、知识面不广、缺乏生活阅历、以形象思维为主，抽象思维能力不强，但是对新鲜而神秘的事物却充满着好奇。最终，我决定从题目着手，先定好本节课的调子。把数字排列问题取名“会说话的数字”，在增加课堂趣味性的同时，让每一个数字化身为“小精灵”一般，焕发出生命的活力。
二、教学实践
课始，师生游戏互动：猜年龄。老师先猜学生的年龄，学生再猜老师的年龄。问：老师为什么能猜出同学们的年龄，同学们却猜不出老师的年龄呢？
在学生猜老师的年龄时，引导学生采用区间逼近的方法，逐步猜出老师的年龄是35岁。从而话锋一转：3和5可以组成35，交换位置就变成了53。排列的顺序不同，组成的数也有所不同。同学们。其实，数字也会说话。如果我们能够读懂他们的语言，许多问题就会迎刃而解。这节课我们就一起来研究会说话的数字。（揭示课题）
师：你认为怎么才能听懂数字的语言呢？
生：仔细听、认真思考、善于观察......
师：这些都是学好数学所必备的品质。
任务一：智慧解答。（独立思考，动手操作。）
师：张小明同学也是一个爱思考的孩子。并且还是一个数学谜，平时最爱看数学故事书了。有一天，他看到这样一个数学问题，百思不得其解。同学们，我们一起去看看吧！
问题一：用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数？
师：你能听懂这几个数字在说些什么吗？这个问题你怎么看？
生1：没有重复数字就是组成两位数的数字不能用同一个数字。
生2:0不能做十位。（老师引导学生说出：这是一个限制条件。）
师：你认为能组成多少个两位数呢？（相机请两个学生说）
（生汇报，自由说。）
师：这些答案是你们看到问题之后随机想到的，没有得到证实。下面请大家独立思考，完成任务一。用自己喜欢的方法写一写、算一算，看看到底有多少种。
（学生独立思考，并进行记录，老师巡视，找出不同的记录方式，请学生到前面站台准备汇报）
师：我们一起来讨论一下，大家是如何进行数字搭配的。一起看屏幕。（学生展示）
情况1：（混乱、写不全）
情况2：（比较清晰，但可能没写全）
情况3：（最简洁、最有序的方案）
师：对于前两位同学的搭配方法，你怎么看？
生：前面几位同学写的比较乱，且不够简洁。（师板书：乱）
师：你说说他们是怎么弄乱的？
生：他一会以1开头，一会儿变成了3，一会儿又变成了1开头的，一点规律也没有，所以就弄乱了。
师：我们再来对比一下，看看第3种情况表示的乱不乱？
生1：不乱
生2：找齐了。（师板书：齐）
师：从“乱”到“齐”的关键是什么？
生1：要按顺序写 （师板书：有序）
生2：要做到不重复、不遗漏。（师板书：不重复、不遗漏）
师：那么，在数字搭配时，有什么好办法能保证既不重复也不遗漏呢？请在组内交流想法，并参照本组的意见，修正自己的答案。谁先来说一说？
生1：可以用连线法。0、1、3、5，连线列举。（让学生边说边写，这其实是交换法的雏形）
生2：每次选取两个数字，先写出一个数，然后用交换的方法得出另一个新数。注意0不能放在十位上。我们一共得到9个两位数。（板书：交换法）
生3：先固定一个数字在十位上，如：把1放在前面，后面写0、3、5，组成10、13、15.同样将3、5分别放在十位上，也能得到3个不重复的两位数。所以一共可以写出9个两位数。
（板书：固定位置法）
师：想一想：除了可以固定十位，我们还可以固定哪个数位呢？
生1：还可以固定一个数字在个位上，然后摆十位上的数，也能得到9个数。
课堂小结：
师：千金难买回头看，同学们我们过回头来看一看。
师：这些方法，你最喜欢哪一种？为什么？
生1：我更喜欢固定一个数的方法，能很快计算出来。
生2：交换法要麻烦些，有时候会忘记取的是那两个数。
生3：用交换法时，按照顺序取就不会忘记了。
师追问：你觉得按照什么顺序最好？问：其他同学还有补充吗？
生4补充：一般是按从小到大的顺序排列，也可以按从大到小的顺序排列。
师：爱因斯坦说过：“对称和有序是宇宙的根本大法。”
谢谢你告诉大家可以换个角度看问题，老师给你点赞！
任务二：破解新问题。（基础巩固题）
明白了其中的道理之后，张小明运用所学的知识，自己也设计一个新问题。他设计的问题是——，一起看吧。“用2、5、7、9组成没有重复数字的两位数，能组成多少个个位是单数的两位数？ 这个问题，你能破解吗？”
师：这几个数字又在说些什么呢？谁来说一说，你听到了什么？（生：我明白了什么是单数；我听到了限制条件。）下面，请同学们独立完成，把自己的答案写在任务单上。
师：已经完成的同学，用坐姿告诉老师。智慧的小手在哪里呢？
生：（自由说）（举手回答，引导学生有序思考，完整表达。）
师：仔细观察，这道题里虽然没有0，但是我们能不能发现0的影子了呢？谁来说说看。
生：个位要是单数。这也是一个限制条件，和0不能做十位相似。
师：精彩。掌声响起。
任务三：给唐僧师徒排排位。（迁移运用题）
张小明打开数学故事书，津津有味的看了起来。当看到给“给唐僧师徒四人排排位”的时候，不禁心里犯起了嘀咕。“咦？没有数字了怎么办呢？”于是他反复的把题目读了好几遍：（出示问题）唐僧师徒4人坐在椅子上。如果唐僧的位置不变，其他人可以任意换位置，一共有多少种做法？（此处请一名学生读一遍）
师：同学们，看到这个问题，你首先想到了？
生：唐僧的位置要固定，这是一个很重要的限制条件。就好比是0不能做首位。
师：这个问题和前面有何不同？
生：前面是数字的排列，这个问题不是。
师：还能看到数字的影子吗？
师：你解决问题的办法是？
生1：因为唐僧不动，先不管唐僧。可以采用固定位置法，给剩下的三人排序。
生2：用数字编号、写名字、画图形表示四个人，然后进行排列。
师：结合前面的问题，仔细想一想，你发现了？
学生小结：“个位是单数”、“唐僧的位置不变”与“0不能在首位”相似，都是解决问题的重要限制条件。当我们学会了有序排列的方法，就会发现：哦，表面上看似不同的题目，其实质却是一样的。
师：子曰：学而不思则罔。同学们，这节课你有那些收获呢？和大家分享一下吧。（学生自由说）
师总结：是啊，就像同学们刚才说的那样。解决数字排列问题的关键是要听懂数字说的话，做到有顺序、不重复、不遗漏，还要特别注意有没有限制条件。只有先弄明白了具备哪些实际条件，再加上我们严谨的思考，才能正确的解决问题。同学们，这就是我们经常说的四个字“实事求是”呀！
师：好了，这节课我们就上到这里。下课！
三、我的思考
2011版《义务教育数学课程标准》中明确指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念等。强调：“数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”具体到这节课来说，课标中要求学生：“能根据给定的标准或者自己选定的标准，对事物或数据进行分类，感受分类与分类标准的关系。”结合以上宏观和微观两个角度来分析，我把这节课的核心素养发展确定为：符号意识、应用意识、分类讨论思想、全面有序思考思想的发展。
本节课看似是简单的数字排列数问题，其实对于三年级的学生极具挑战性。思维含量很高，也较为抽象。人教版义务教育教科书《教师教学用书》教学建议中说到：要把握教学要求，“到位”而不“越位”。“只要求学生用图示的方式把所有的排列或组合情况列举出来，不要求抽象地计算一共有多少种排列数或组合数！不要拔高要求。”就我个人而言，我认为的“到位”就是要把该研究的问题研究透彻，掌握研究此类问题的方法，探寻表象背后的数学本质问题。至于，如何计算排列数，则是顺应学情，点到为止，不拔高。
正如怀特海在《教育的目的》一书中所说：“学校里教授的知识都是二手货，甚至是三手货。”“学习的第一目标还不是知识本身，而是学获取知识的方法。”在谈到如何避免思想上的僵化，他给出了需要特别注意的两条戒律：（一）不要同时教授太多科目；（二）如果要教，就一定要教得透彻。“如果只给儿童教授一些少而精的科目，让他们对所学的东西进行自由的想象和组合，他们就会利用这些所学的知识去认识世界，并在现实生活中加以运用。”
在进行一些资料研究之后，我把教学目标确定为：经历探索稍复杂事物排列数的过程，掌握排列两位数的方法。提升观察能力，发展有序、全面思考问题的能力。感受数学和现实生活的密切联系，养成有条理分析问题的习惯，培养数学应用意识。力争在实现教学目标的基础上，融入“认真倾听、善于思考、善于观察”等学习习惯的养成教育，渗透诸如：“千金难买回头看！”“实事求是”等认识事物、解决问题、反思问题的思维品质教育。做到不仅“授之以鱼”，还要“授之以渔”。
总之，由于本人自身水平有限，对于问题的思考可能还不够全面。不当之处，敬请各位方家予以斧正！
